四年级皮克定理：顶点都在格点上的多边形，如下图红色顶点，

其面积为：绿点数+紫红点数÷2-1

即：内部点数+边线点数÷2-1

本图中，内部点39个，边线点14个，

面积为：39+14÷2-1=45

皮克定理的常规证明方法略繁琐，倒是有近似的方法，更直观一些。

以格点为圆心做圆，类比质量、或者热量等等，题目中为面积，一个圆的面积为1。

在多边形内的绿色格点，面积在多边形内。求多边形面积时，内部点数直接计入。

紫色格点在边线，但不在顶点上，其面积有一半在多边形内。求多边形面积时，边线点数需除以2。

红色格点在顶点上，暂时将圆面积的一半计入多边形，以下图三角形为例：

我们将3个顶点的3个半圆计入多边形，

而事实上，只有上图中绿色的扇形是多边形内的，

绿色扇形=3个半圆-红色扇形，

而凸多边形的外角和为360°，参见《凸多边形外角和的证明》

即所有红色扇形合起来，正好是1个圆；

可得：绿色扇形=3个半圆-1个圆

回到前一幅图，顶点上的红色格点，可以等同于紫色的边线格点，其面积有一半在多边形内，只是需要额外减1。

总结：

内部点：直接计入

边线点：点数除以2后，再减1。

多边形面积=内部点数+边线点数÷2-1

补充说明：

外角和为360°是指凸多边形，而格点多边形也适用凹多边形。如最开始的图形，其凹角处红色顶点，如下图：

绿色扇形为正常计入的“边线点数÷2”；

蓝色扇形=两个青色扇形

而青色扇形计入两个凸角的红色顶点后，

凹多边形已经转化为正常的凸多边形。

计算方法还是：多边形面积=内部点数+边线点数÷2-1

对于三角形格点网络，如下图：

需要在正方形格点的基础上，再乘以2，即，

多边形面积=(内部点数+边线点数÷2-1)x2。

对正方形网络，如下图，将灰色网络向左下移动，新的格点网络以青色表示。正好每个方格一个格点

而三角形网络不同，如下图，

注意其中黄色点填充的区域，其中并没有格点。

每个格点对应了2个三角，

其中一个三角内包含一个格点，

另一个三角内不包含格点。

即：多边形面积=(内部点数+边线点数÷2-1)x2。

可以这样理解，对于正方形网络，如下图：

每个方格有一个重心，4个顶点，而4个顶点重合为1个格点，上图中，格点网络拆分之后，中央为4个灰色顶点。

也就是说，一个重心，对应一个格点。

反过来，一个格点，对应一个重心

三角形网络如下图：

每个三角形有一个重心，3个顶点，而6个顶点重合为1个格点。

也就是说，一个重心，对应半个格点。

即，一个格点，对应两个重心

正方形网络：多边形面积=内部点数+边线点数÷2-1。

则：

三角形网络：多边形面积=(内部点数+边线点数÷2-1)x2。